Question

（08年南昌市一模理）( 14分) 已知数列满足

（1）  求数列的通项公式；

（2）  设b= (n∈N,n≥2), b,

①求证：b+b+……+b< 3 ;

②设点M(n,b)((n∈N,n>2)在这些点中是否存在两个不同的点同时在函数

y =(k>0)的图象上,如果存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

Answer 1

解析：(1) 解法一∵

 ∴………4分

∴数列{}是以首项a₁+1，公比为2的等比数列，即

       ……………6分

解法二、……………………①

            …………………………②

    ②－①得

        

         为公比为2，首项为2的等比数列. …………4分

         递推迭加得

         …………………………6分

(也可用数学归法证明：)

(1)  b== =

≤(n≥2)………8分

∴b+b+……+b

=1+, 

n=1时,b=1<3 成立, 所以b+b+……+b< 3 .………10分

(2)  假设有两个点A(p,b),B(q,b)(p≠q,p,q∈N*,且P>2,q>2),都在y = 上,

即b=, ,   ∴

  ……①   ………12分

 

以下考查数列，的增减情况， ，

当n>2时, n² －3n+1>0 ,所以对于数列{C_n }有C₂>C₃>C₄>……>C_n>……,

所以不可能存在p,q使①成立,因而不存在这样的两个点.……14分