Question

7．若已知x，y满足x²+y²-4x+1=0．
（1）求$\frac{y}{x}$的取值范围；
（2）x²+y²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以$\sqrt{3}$为半径的圆，设$\frac{y}{x}$=k，进而根据圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，确定出k的范围，即为所求$\frac{y}{x}$的范围．
（2）x²+y²表示（x，y）与（0，0）的距离的平方，即可求出x²+y²的取值范围．

解答 解：（1）设$\frac{y}{x}$=k，即kx-y=0，
由圆方程x²+y²-4x+1=0
∴（x-2）²+y²=3得到圆心坐标为（2，0），半径r=$\sqrt{3}$，
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d=r，即$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，
解得：k=±$\sqrt{3}$，
则$\frac{y}{x}$的取值范围是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
（2）x²+y²表示（x，y）与（0，0）的距离的平方，
圆心到原点的距离为2，半径r=$\sqrt{3}$，∴x²+y²的取值范围[（2-$\sqrt{3}$）²，（2+$\sqrt{3}$）²]，即[7-4$\sqrt{3}$，7+4$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线与圆相切时满足的条件，利用了转化的思想，求出直线与圆相切时斜率的值是解本题的关键．