题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数).
(1)求函数的零点
,以及曲线
在
处的切线方程;
(2)设方程(
)有两个实数根
,
,求证:
.
【答案】(1),
(2)证明见解析
【解析】
(1)由求得函数零点,由导数的几何意义可求得切线方程;
(2)根据导函数研究出函数的单调性,只有在时,
,因此
,考查(1)中切线,先证明
(
),只要构造函数
在
上单调递增,易得证,方程
的解为
,
(不妨设
,则
),要证不等式变形为证明
,即证
,由
,
,构造函数,结合导数知识可证.
(1)由,得
,∴函数的零点是
.
,
,
.
曲线在
处的切线方程为
.
,
,
∴曲线在
处的切线方程为
(2).
当时,
;当
时,
.
∴的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
由(1)知,当或
时,
;当
时,
.
下面证明:当时,
.
当时,
.
易知,在
上单调递增,
而,
∴对
恒成立,
∴当时,
.
由得
.记
.
不妨设,则
,
∴.
要证,只要证
,即证
.
又∵,∴只要证
,即
.
∵,即证
.
令.
当时,
,
为单调递减函数;
当时,
,
为单调递增函数.
∴,∴
,
∴
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