Question

已知直线l经过点P(

1

2

，1)，倾斜角α=

π

6

，圆C的极坐标方程为ρ=

2

cos(θ-

π

4

)
（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析：（1）由已知中直线l经过点P(

1

2

，1)，倾斜角α=

π

6

，利用直线参数方程的定义，我们易得到直线l的参数方程，再由圆C的极坐标方程为ρ=

2

cos(θ-

π

4

)，利用两角差的余弦公式，我们可得ρ=cosθ+sinθ，进而即可得到圆C的标准方程．
（2）联立直线方程和圆的方程，我们可以得到一个关于t的方程，由于|t|表示P点到A，B的距离，故点P到A，B两点的距离之积为|t₁•t₂|，根据韦达定理，即可得到答案．

解答：解：（1）直线l的参数方程为

x= 1 2 +tcos π 6 y=1+tsin π 6

即

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

（t为参数）…（2分）
由ρ=

2

cos(θ-

π

4

)得ρ=cosθ+sinθ
所以ρ²=ρcosθ+ρsinθ…（4分）
得(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

…（6分）
（2）把

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

得t2+

1

2

t-

1

4

=0…（8分）|PA|•|PB|=|t1t2|=

1

4

…（10分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆的方程的应用，点的极坐标和直角坐标的互化，其中准确理解直线参数方程中参数的几何意义，极坐标方程中ρ，θ的几何意义，是解答本题的关键．