Question

如果由约束条件

0≤y≤x y≤4-x t≤x≤t+2．(0＜t＜2)

所确定的平面区域的面积为S=f（t），则S的最大值为

3

．

Answer 1

分析：作出题中约束条件所确定的平面区域，得它的形状是由等腰Rt△OCF，减去等腰Rt△OAB和等腰Rt△DEF而得的一个五边形．根据题意算出三个等腰直角形的面积，得到该平面区域的面积S=f（t）是关于t的二次函数，根据二次函数的图象与性质，不难得到S的最大值．

解答：解：作出题中约束条件所确定的平面区域，如右图阴影部分
则S_△OAB=

1

2

|OA|•|AB|=

1

2

t2，S_△DEF=

1

2

|DE|•|EF|=

1

2

（2-t）²，
∴五边形ABCDE面积S=S_△OCF-S_△OAB-S_△DEF
=

1

2

×4×2-

1

2

t2-

1

2

（2-t）²=-t²+2t+2
即f（t）=-t²+2t+2，其中0＜t＜2
∵当t=1时，f（t）的最大值为f（1）=3
∴S的最大值为3
故答案为：3

点评：本题在平面直角坐标系中，求区域图形面积的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．