Question

12．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为6，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=6}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出；当焦点在y轴上时，同理可得椭圆的标准方程．

解答 解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=6}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=6，b=3，
可得椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
当焦点在y轴上时，同理可得椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{36}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．