Question

（2013•湖北）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A₁处发现矿藏，再继续下钻到A₂处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A₁A₂=d₁．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B₁B₂=d₂，C₁C₂=d₃，且d₁＜d₂＜d₃．过AB，AC的中点M，N且与直线AA₂平行的平面截多面体A₁B₁C₁-A₂B₂C₂所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S_中．
（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A₁B₁C₁-A₂B₂C₂的体积V）时，可用近似公式V_估=S_中-h来估算．已知V=

1

3

（d₁+d₂+d₃）S，试判断V_估与V的大小关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）由题意可证得MN是中截面梯形DEFG的高，根据四边形A₁A₂B₂B₁，A₁A₂C₂C₁均是梯形，利用梯形的中位线公式吧DE，FG用d₁，d₂，d₃表示，这样就能把V_估用含有a，h，d₁，d₂，d₃的代数式表示，把V=

1

3

（d₁+d₂+d₃）S与V_估作差后利用d₁，d₂，d₃的大小关系可以判断出差的符号，及能判断V_估与V的大小关系．

解答：（Ⅰ）依题意A₁A₂⊥平面ABC，B₁B₂⊥平面ABC，C₁C₂⊥平面ABC，
所以A₁A₂∥B₁B₂∥C₁C₂，又A₁A₂=d₁，B₁B₂=d₂，C₁C₂=d₃，且d₁＜d₂＜d₃．
因此四边形A₁A₂B₂B₁，A₁A₂C₂C₁均是梯形．
由AA₂∥平面MEFN，AA₂?平面AA₂B₂B，且平面AA₂B₂B∩平面MEFN=ME，
可得AA₂∥ME，即A₁A₂∥DE．同理可证A₁A₂∥FG，所以DE∥FG．
又M，N分别为AB，AC的中点，
则D，E，F，G分别为A₁B₁，A₂B₂，A₂C₂，A₁C₁ 的中点，
即DE、FG分别为梯形A₁A₂B₂B₁、A₁A₂C₂C₁的中位线．
因此DE=

1

2

(A1A2+B1B2)=

1

2

(d1+d2)，FG=

1

2

(A1A2+C1C2)=

1

2

(d1+d3)，
而d₁＜d₂＜d₃，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）V_估＜V．证明：
由A₁A₂⊥平面ABC，MN?平面ABC，可得A₁A₂⊥MN．
而EM∥A₁A₂，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．
由MN是△ABC的中位线，可得MN=

1

2

BC=

1

2

a，即为梯形DEFG的高，
因此S中=S梯形DEFG=

1

2

(

d1+d2

2

+

d1+d3

2

)•

a

2

=

a

8

(2d1+d2+d3)，
即V估=S中•h=

ah

8

(2d1+d2+d3)．又
S=

1

2

ah，所以V=

1

3

(d1+d2+d3)S=

ah

6

(d1+d2+d3)．
于是V-V估=

ah

6

(d1+d2+d3)-

ah

8

(2d1+d2+d3)=

ah

24

[(d2-d1)+(d3-d1)]．
由d₁＜d₂0，d₃-d₁＞0，故V_估＜V．

点评：本题考查直三棱柱的性质，体积，线面关系及空间想象能力，解答该题的关键是要有较强的空间想象能力，避免将各线面间的关系弄错，此题是中高档题．