Question

四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a．
（Ⅰ）求该四面体的体积的最大值；
（Ⅱ）当四面体的体积最大时，求其表面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出四面体A-BCD，不妨设棱AB、AC、BC、BD、CD相等且为定值a，把棱AD看作动的棱，设为x，取AD的中点P，
连接BP、CP后，四面体A-BCD分成了两个同底面的三棱锥A-BPC和D-BPC，四面体的体积转化为此两个三棱锥的体积和，整理后化为关于x的函数，然后运用基本不等式求四面体体积的最大值．
（Ⅱ）求出使四面体体积最大时的x的值，四面体的表面积就是表面四个三角形的面积和，可直接运用三角形的面积求解．

解答：解：（Ⅰ）如图，
在四面体ABCD中，设AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中点为P，
BC的中点为E，连接BP、EP、CP．
∵AB=BD，P为AD中点，∴BP⊥AD，
∵AC=CD，P为AD中点，∴PC⊥AD，
又BP∩PC=P，∴AD⊥平面BPC，
∴V_A-BCD=V_A-BPC+V_D-BPC
=

1

3

S_△BPC•AP+

1

3

S_△BPC•PD
=

1

3

S_△BPC•AD
=

1

3

×

1

2

a×

1

2

3a2-x2

•x
=

a

12

(3a2-x2)•x2

≤

a

12

•

3a2-x2+x2

2

=

1

8

a³（当且仅当x=

6

2

a时取“=”）．
∴该四面体的体积的最大值为

1

8

a³．
（Ⅱ）由（1）知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，
△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为

6

2

a，
∴S_△ABC=S_△BCD=

1

2

a×

3 a

2

=

3 a2

4

，
S_△ABD=S_△ACD=

1

2

×

6 a

2

×

a2- 3 8 a2

=

15 a2

8

所以当四面体的体积最大时，其表面积S=2×

3 a2

4

+2×

15 a2

8

=

2 3 + 15

4

a²．

点评：本题考查了棱锥的体积和表面积，考查了学生的空间想象能力和数学转化能力，考查了函数思想，运用了基本不等式求函数的最值，此题是中档题．