Question

设P₁，P₂，P₃，…P_n，是曲线y=

x

上的点列，Q₁，Q₂，Q₃，…Q_n是x轴的正半轴上的点列，O为坐标原点，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_nQ_n+1P_n+1是等边三角形，设它们的边长分别为a₁，a₂，a₃，…a_n，求{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析：当n=1时，由

y= x y= 3 x

，得a1=

2

3

y1=

2

3

，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，由△Q_n-1P_nQ_n为正三角形知Pn(Sn-1+

an

2

，

3

2

an)，由点P_n在曲线y=

x

上，知即Sn-1=

3

4

a

2 n

-

1

2

an，由此入手能够求出{a_n}前n项和S_n．

解答：解：当n=1时，由

y= x y= 3 x

，得y1=

3

3

，
∴a1=

2

3

y1=

2

3

，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，
则由△Q_n-1P_nQ_n为正三角形，（Q₀为原点，S₀=0），
∴Pn(Sn-1+

an

2

，

3

2

an)，
又由点P_n在曲线y=

x

上，
∴

3

2

an=

Sn-1+ an 2

，
即Sn-1=

3

4

a

2 n

-

1

2

an
∴Sn=

3

4

a

2 n+1

-

1

2

an+1．
两式相减，得(an+1+an)(

3

4

an+1-

3

4

an-

1

2

)=0，
∵a_n+1+a_n≠0，
∴an+1-an=

2

3

(n≥2)
可验证a2-a1=

2

3

，
故数列{a_n}是以

2

3

为首项，

2

3

为公差的等差数列，
∴an=

2

3

n，
∴Sn=

n( 2 3 + 2 3 n)

2

=

1

3

n(n+1)．

点评：本题考查等差数列的性质和函数的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．具有一定的难度，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答．