Question

12．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O，高为$\sqrt{3}$，设E、F分别为AB、SC的中心，且SE=2，M为CD边上的点．
（1）求证：EF∥平面SAD；
（2）试确定点M的位置，使得平面EFM⊥底面ABCD．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明EF∥平面SAD；
（2）根据面面垂直的性质定理建立方程关系即可确定点M的位置．

解答 解：（1）取SD的中点G，连结AG，FG，则FG∥CD∥AE，FG=AE，FG=$\frac{1}{2}$CD，
∴AEFG为平行四边形，
∴AG∥EF，AG=EF，
∵AG?平面SAD，
∴EF∥平面SAD．
（2）连结AC与BD相交于点O，取OC的中点H，连结SO，FH，EH，
延长EH交CD于M，
则SO⊥底面ABCD，
FH∥S0，
∴FH⊥底面ABCD，
∴平面EFM⊥底面ABCD，
由AB∥CM知，$\frac{CM}{AE}=\frac{CH}{AH}=\frac{1}{3}$，
∴MC=$\frac{1}{3}AE=\frac{1}{6}AB=\frac{1}{6}CD$，
即当M位于CD的$\frac{1}{6}$处（距C）时，平面EFM⊥底面ABCD．

点评 本题主要考查空间线面平行或面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．