Question

19．如图，在△ABC中，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{NC}$，点P在BN上．
（1）若点P是线段BN的中点，利用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AP}$；
（2）若$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的加法运算，即可用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AP}$；
（2）$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AN}$，利用B，P，N三点共线，求实数m的值．

解答 解：（1）∵点P是线段BN的中点，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{AB}$），
∵$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{NC}$，
∴$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AC}$；
（2）$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AN}$，
∵B，P，N三点共线，
∴m+$\frac{2}{3}$=1，
∴m=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查向量的加法运算，考查三点共线结论的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．