题目内容
16．已知$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2-m，1-m）．（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；
（2）若∠BAC为钝角，求实数m的取值范围；
（3）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
分析 （1）利用A，B，C三点共线的充要条件，列出方程即可求实数m的值；
（2）利用∠ABC为钝角，通过向量的数量积的范围，求实数m的取值范围；
（3）讨论△ABC为直角三角形时，是A为直角？B为直角？C为直角？求出对应m的值．
解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2-m，1-m）．A，B，C三点共线，
∴4-2m=1-m，∴实数m=3时，满足的条件 …（3分）
（2）由题设知，∵∠BAC为钝角，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2-m+2-2m=4-3m＜0…（5分）解得m$＞\frac{4}{3}$
又由（1）可知，当m=3时，A，B，C三点共线．
故m∈（$\frac{4}{3}$，3）∪（3，+∞）…（8分）
（2）$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2-m，1-m）．
∵△ABC为直角三角形，
∴当A是直角时，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2-m+2-2m=4-3m=0，
解得m=$\frac{4}{3}$；
当B是直角时，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$-\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}）$=（-1，-2）•[（-1，-2）+（2-m，1-m）]=-1+m+2+2m=0，
解得m=-$\frac{1}{3}$；
当C是直角时，
$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=（2-m，1-m）•[（2-m，1-m）-（1，2）]
=1-3m=0，解得m=$\frac{1}{3}$
综上，m的值为-$\frac{1}{3}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{1}{3}$．…（13分）．
点评 本题是中档题，考查向量的表示方法，向量的数量积的应用，解题时应用分类讨论的思想，考查计算能力．
