Question

6．已知函数f（x）=xlnx的图象上从左至右依次存在三个点P（p，f（p）），C（c，f（c）），D（d，f（d）），且2c=p+d，求证：f（p）+f（d）-2f（c）＜（d-p）ln2．

Answer 1

分析 由已知可得0＜p＜c＜d，且c²＜pd，进而根据对数的运算性质和基本不等式，利用放缩法，可证得：f（p）+f（d）-2f（c）＜（d-p）ln2．

解答 证明：∵函数f（x）=xlnx的图象上从左至右依次存在三个点P（p，f（p）），C（c，f（c）），D（d，f（d）），且2c=p+d，
∴0＜p＜c＜d，且2c=p+d＜$2\sqrt{pd}$，即c²＜pd，
∴f（p）+f（d）-2f（c）=plnp+dlnd-2clnc
=ln$\frac{{p}^{p}•{d}^{d}}{{c}^{2c}}$=ln$\frac{{（pd）}^{p}•{d}^{d-p}}{{c}^{p+d}}$＜ln$\frac{{c}^{2p}•{d}^{d-p}}{{c}^{p+d}}$
=ln（c^p-d•d^d-p）=ln$（\frac{d}{c}）^{d-p}$
=（d-p）ln$\frac{d}{c}$＜（d-p）ln$\frac{d+p}{c}$
=（d-p）ln$\frac{2c}{c}$=（d-p）ln2

点评 本题考查的知识点是对数的图象与性质，基本不等式，难度中档．