Question

3．函数y=f（θ）=$\frac{2sinθ-2}{cosθ-3}$的值域为[0，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 变形可得ycosθ-2sinθ=3y-2，由辅助角公式和三角函数的值域可得y的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵y=$\frac{2sinθ-2}{cosθ-3}$，∴y（cosθ-3）=2sinθ-2，
∴ycosθ-2sinθ=3y-2，
∵ycosθ-2sinθ=$\sqrt{{y}^{2}+4}$cos（θ+φ），其中tanφ=$\frac{2}{y}$，
∴|ycosθ-2sinθ|≤$\sqrt{{y}^{2}+4}$，即|3y-2|≤$\sqrt{{y}^{2}+4}$，
解关于y的不等式可得0≤y≤$\frac{3}{2}$，
故答案为：[0，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及辅助角公式和三角函数的值域，属中档题．