题目内容

把函数f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x(x∈R)的图象沿x轴向左平移m个单位(m＞0)所得函数的图象关于直线x=π对称.

(1)求m的最小值.

(2)证明：当x∈(π,π)时，经过函数y=f(x)的图象上任意两点的直线斜率为负数.

答案：(1)解：f(x)=cos2x-sin2x+2=cos(2x+)+2,将f(x)的图象向左平移m个单位得函数g(x)=cos(2x+2m+)+2,其对称轴x=π，

∴2×π+2m+=kπ(k∈Z).又m＞0，∴mmin=.                                

(2)证明：∵π＜x＜π,∴-4π＜2x+π，∴f(x)在(π,π)上为减函数.

设x1,x2∈(π,π),且x1＜x2,则f(x1)＞f(x2),

∴k=＜0(用导数方法证明也可).

练习册系列答案
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已知函数f(x)=sin2ωx+
3
sinωxcosωx (ω＞0)的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
已知函数f(x)=sin2ωx+
3
sinωx•sin(ωx+
π
2
)（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，
2π
3
]上的取值范围．
（Ⅲ）函数f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到？
已知函数f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+
π
2
)（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，
2π
3
]上的最大值．
附加题：已知函数f(x)=sin2ωx+
3
cosωx•cos(
π
2
-ωx)-
1
2
，(其中ω＞0)，且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为
π
2
．
（Ⅰ）求f(
π
6
)的值；
（Ⅱ）若函数f(kx+
π
12
)(k＞0)在区间[-
π
6
，
π
3
]上单调递增，求实数k的取值范围；
（III）是否存在实数m使方程3f2（x）-f（x）+m=0在(
π
12
，
π
3
]内仅有一解，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，说明理由．
先把函数f(x)=sinx的图象上的所有的点向左平行移动个单位长度得函数f1(x)的图象,再把f1(x)的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍得函数f2(x)的图象,则f2(x)等于(    )

A.sin12(x-)        B.sin(12x+)

C.sin2(x-)         D.sin(2x+)

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