Question

已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明：当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由x+ky-3=0得，（x-3）+ky=0，所以F为（3，0）．由题设知

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

，由此可求出椭圆C的方程．
（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以

m2

25

+

n2

16

=1．从而圆心O到直线l的距离d=

1

m2+n2

=

1

m2+16(1- 1 25 m2)

=

1

9 25 m2 +16

＜1．由此可求出直线l被圆O截得的弦长的取值范围．

解答：解：（1）由x+ky-3=0得，（x-3）+ky=0，
所以直线过定点（3，0），即F为（3，0）．
设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

解得

a=5 b=4 c=3

故所求椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．

（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以

m2

25

+

n2

16

=1．
从而圆心O到直线l的距离
d=

1

m2+n2

=

1

m2+16(1- 1 25 m2)

=

1

9 25 m2 +16

＜1．
所以直线l与圆O恒相交．
又直线l被圆O截得的弦长
L=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 9 25 m2 +16

，由于0≤m²≤25，
所以16≤

9

25

m²+16≤25，则L∈[

15

2

，

4 6

5

]，
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[

15

2

，

4 6

5

]．

点评：本题考查直线和圆的综合应用，解题时要认真审题，掌握椭圆方程的求解方法，注意弦长公式的合理运用．