题目内容
如图，在三棱锥
中，
，
，侧面
为等边三角形，侧棱
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的余弦值
【答案】
（Ⅰ）证明略
（Ⅱ）证明略
（Ⅲ）
【解析】解：（Ⅰ）设
中点为
，连结
，
，………… 1分
∵
，所以
.
又
，所以
. …………………
2分
∵
，所以
平面
.
∵
平面，所以
. ……… 4分
（Ⅱ）由已知
，
，
∴
，
.
又
为正三角形，且，∴
. …………………… 6分
∵
，所以
.
∴
.
由（Ⅰ）知
是二面角
的平面角.
∴平面
平面
.
…………………………………………… 8分
（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知
平面
.
过作
于
，连结
，则
.
∴
是二面角
的平面角. ………………………………… 10分
在
中，易求得
.
∵
，所以
. …………………………
12分
∴
.
即二面角的余弦值为. …………………………………… 13分
方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知
，
，
两两垂直.
……………………… 9分
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
易知
，
，
，
.
∴
，
. ……………………… 10分
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，则
，
.
∴平面的一个法向量为
. ………………………
11分
易知平面的一个法向量为
.
∴
. ……………………………………
12分
由图可知，二面角为锐角.
∴二面角的余弦值为. …………………………………… 13分
练习册系列答案
相关题目
如图，在三棱锥
中，
，
，
，
．
；
的大小；
到平面
的距离．
中，侧面
与侧面
均为等边三角形，
，
为
中点．
平面
；
的余弦值． （本题12分）
中，
两两垂直且相等，过
的中点
作平面
∥
，且
于
，交
的延长线于
．
平面
；
，求二面角
的余弦值.
中，已知点
、
、
分别为棱
、
、
的中点.
∥平面
；
，
，求证：平面
⊥平面
中，
，
为
中点。（1）求证：
平面
上是否存在一点
，使二面角
的平面角的余弦值为
？若存在，确定