Question

已知向量m=(2x-2，2-

3

y)，n=(

3

y+2，x+1)，且m∥n，

OM

=(x，y)（O为坐标原点）．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点F（1，0）的直线l与曲线C相 交于A、B两点，并且曲线C存在点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAPB的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵向量

m

=(2x-2，2-

3

y)，

n

=(

3

y+2，x+1)，且

m

∥

n

∴（2x-2）（x+1）-（2-

3

y）(

3

y+2)=0
化简可得，点M的轨迹C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+1，代入椭圆方程，消元可得（2m²+3）y²+4my-4=0
∴y₁+y₂=-

4m

2m2+3

，y₁y₂=-

4

2m2+3

假设存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，其充要条件为

OP

=

OA

+

OB

∴P（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1
∴2

x

21

+3

y

21

+2

x

22

+3

y

22

+4x₁x₂+6y₁y₂=6
∵A，B在椭圆上，∴2

x

21

+3

y

21

=6，2

x

22

+3

y

22

，=6
∴2x₁x₂+3y₁y₂=-3
∵y₁+y₂=-

4m

2m2+3

，y₁y₂=-

4

2m2+3

∴m=±

2

2

当m=

2

2

时，y₁=-

2

，y₂=

2

2

，∴x₁=0，x₂=

3

2

∴

OA

=(0，-

2

)，

OB

=(

3

2

，

2

2

)
∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA || OB |

=-

2 11

∴sin∠AOB=

3

11

∴平行四边形OAPB的面积为|

OA

||

OB

|sin∠AOB=

3

2

2

当m=-

2

2

时，同理可得平行四边形OAPB的面积为

3

2

2

故存在存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．