题目内容

设函数f(x)=
e-x+1+a，(x≤1)
x2+bx-3
x-1
(x＞1)
在x=1处连续，则
lim
x→∞
an-3bn
an+bn
=（　　）
分析：由函数f(x)=
e-x+1+a，(x≤1)
x2+bx-3
x-1
(x＞1)
在x=1处连续可求得b=2，a=3，代入即可求得
lim
x→∞
an-3bn
an+bn
的值．
解答：解：∵函数f(x)=
e-x+1+a，(x≤1)
x2+bx-3
x-1
(x＞1)
在x=1处连续，
∴
lim
x→1-
e-x+1+a=a，x=1是方程x2+bx-3=0的根，
∴b=2，
又
lim
x→1+
x2+2x-3
x-1
=
lim
x→1+
( x-1)(x+3)
x-1
=4=
lim
x→1-
e-x+1+a=1+a，
∴a=3．
∴
lim
x→∞
an-3bn
an+bn
=
lim
x→∞
3n-3•2n
3n+2n
=
lim
x→∞
1 -3•(
2
3
)n
1+(
2
3
)n
=1．
故选A．
点评：本题考查函数的连续性及极限的运算，难点在于对函数在x=1处连续的理解与应用（求a、b的值），属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=alnx+
ax22
-2x，a∈R．
（1）当a=1时，试求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
设函数f(x)=x2+
1
4
，g(x)=
1
2
ln(2ex)，（其中e为自然底数）；
（Ⅰ）求y=f（x）-g（x）（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函数h（x）=kx+b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）数列{an}中，a1=1，an=g（an-1）（n≥2），求证：
n
k=1
(ak-ak+1)•ak+1＜
3
8
．
（2012•河南模拟）设函数f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1．
（Ⅰ）当a=1时，过原点的直线与函数f（x）的图象相切于点P，求点P的坐标；
（Ⅱ）当0＜a＜
1
2
时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=
1
3
时，设函数g(x)=x2-2bx-
5
12
，若对于?x1∈（0，e]，?x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．（e是自然对数的底，e＜
3
+1）
设函数f(x)=
x2+1，x≤1
lnx，x＞1
，则f(f(e))=（　　）

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