题目内容

已知函数 $数学公式$ ，设F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求F（x）的单调区间；
（2）若以 $数学公式$ ，图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值；
（3）是否存在实数m，使得函数 $数学公式$ 的图象与q（x）=f（1+x²）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

解．（1）F $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∵a＞0，由F'（x）＞0?x∈（2a，+∞），
由F'（x）＜0?x∈（0，2a）．
∴F（x）的单调递减区间为（0，2a），
单调递增区间为（2a，+∞）
（2） $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，
所以实数a的最小值为 $\text{[math]}$ ．
（3）若 $\text{[math]}$ 的图象
与q（x）=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同交点，
即 $\text{[math]}$ 有四个不同的根，
亦即 $\text{[math]}$ 有四个不同的根．
令 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ．
当x变化时G'（x）．G（x）的变化情况如下表：

由表格知： $\text{[math]}$ ．
又因为 $\text{[math]}$ 可知，当 $\text{[math]}$ 时，
方程 $\text{[math]}$ 有四个不同的解．
∴ $\text{[math]}$ 的图象与
y=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同的交点．
分析：（1）先由f（x）和g（x）构造得到F（x）的解析式，利用导数大于0得增区间，小于0得减区间．
（2）切线的斜率k≤1恒成立即导数小于等于1恒成立，从而建立起a与x的关系式，利用恒成立求得a．
（3）p（x）与q（x）的图象有四个不同的交点转化成方程有四个不同的根，分离出m后，转化成新函数的最大值和最小值．
点评：本题是个难题，主要考查了导数在函数单调性和最值中的应用，同时考查了导数的几何意义和恒成立问题．
注意函数的定义域，分离参数在解决恒成立问题中的应用．