题目内容

设F₁，F₂分别是椭圆D： $数学公式$ 的左、右焦点，过F₂作倾斜角为 $数学公式$ 的直线交椭圆D于A，B两点，F₁到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）过椭圆D的左顶点P作直线l₁交椭圆D于另一点Q．
（ⅰ）若点N（0，t）是线段PQ垂直平分线上的一点，且满足 $数学公式$ ，求实数t的值；
（ⅱ）过P作垂直于l₁的直线l₂交椭圆D于另一点G，当直线l₁的斜率变化时，直线GQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

解：（Ⅰ）设F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0），其中c＞0
由题意得AB的方程为： $\text{[math]}$
因F₁到直线AB的距离为3，所以有 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ …（1分）
所以有a²-b²=c²=3…①
由题意知： $\text{[math]}$ ，即ab=2…②
联立①②解得：a=2，b=1
∴所求椭圆D的方程为 $\text{[math]}$ …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（-2，0），设Q（x₁，y₁）
根据题意可知直线l₁的斜率存在，可设直线斜率为k，则直线l₁的方程为y=k（x+2）
把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
由韦达定理得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
∴y₁=k（x₁+2）= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴线段PQ的中点坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（6分）
（ⅰ）当k=0时，则有Q（2，0），线段PQ垂直平分线为y轴，于是 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ …（8分）
当k≠0时，则线段PQ垂直平分线的方程为y- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
因为点N（0，t）是线段PQ垂直平分线的一点，
令x=0，得： $\text{[math]}$ ，于是 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$
代入 $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$
综上，满足条件的实数t的值为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ …（10分）
（ⅱ）设G（x₂，y₂），由题意知l₁的斜率k≠0，直线l₂的斜率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 化简得：（k²+4）x²+16x+16-4k²=0．
∵此方程有一根为-2，得 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ．…（12分）
∵ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
所以GQ的直线方程为 $\text{[math]}$
令y=0，则 $\text{[math]}$ ．
所以直线GQ过x轴上的一定点 $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（Ⅰ）设出AB的方程，利用F₁到直线AB的距离为3，可求得c的值，利用a²-b²=c²=3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4，即可求得椭圆D的方程；
（Ⅱ）设直线l₁的方程代入椭圆D的方程，消去y，整理得一元二次方程，由韦达定理，可求得线段PQ的中点坐标；（ⅰ）当k=0时，则有Q（2，0），线段PQ垂直平分线为y轴，利用 $\text{[math]}$ ，可求t的值；当k≠0时，求出线段PQ垂直平分线的方程，令x=0，得： $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ ，可求t的值；
（ⅱ）设直线l₂的方程与椭圆方程联立，确定Q的坐标，从而可求GQ的直线方程，令y=0，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．