Question

在数列{a_n}中，对于任意n∈N^*，等式a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=b成立，其中常数b≠0．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求证：数列{2^a_n}为等比数列；
（Ⅲ）如果关于n的不等式＞（c∈R）的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，求b和c的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知等式，写出，，由此可求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）由已知等式，再写一式，两式相减，即可证明数列{2^a_n}为等比数列；
（Ⅲ）不等式化简为，分类讨论，结合函数的单调性，即可求b和c的取值范围．
解答：（Ⅰ）解：因为，
所以，，
解得a₁=b，a₂=2b．…（3分）
（Ⅱ）证明：当n≥2时，由，①
得，②
将①，②两式相减，得 ，
化简，得a_n=nb，其中n≥2．…（5分）
因为a₁=b，所以a_n=nb，其中n∈N^*．…（6分）
因为为常数，
所以数列为等比数列．…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，…（9分）
所以，…（11分）
又因为，
所以不等式化简为，
当b＞0时，考察不等式的解，
由题意，知不等式的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，
因为函数在R上单调递增，所以只要求 且即可，
解得；                                        …（13分）
当b＜0时，考察不等式的解，
由题意，要求不等式的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，
因为，
所以如果n=3时不等式成立，那么n=2时不等式也成立，
这与题意不符，舍去．
所以b＞0，．…（14分）
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查等比数列的证明，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．