Question

11．已知椭圆x²+y²=a²的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线y=k（x-1）与椭圆交于A、B，两点，试问，是否存在x轴上的点M（m，0），使得对任意的k∈R，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，通过${b^2}=\frac{a^2}{2}$，三角形的面积为4，求出a²=8，b²=4，得到椭圆方程．（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，化简$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$推出$m=\frac{11}{4}$时，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$-\frac{7}{16}$为定值，求出M坐标．

解答 解：（1）设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，
则${b^2}=\frac{a^2}{2}$，由c²=a²-b²得${c^2}={a^2}-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}$，
由$\frac{1}{2}×b×2c=4$解得a²=8，b²=4，则椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$． …（6分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-8}}{{2{k^2}+1}}$，…（8分）∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（{x_1}-m，{y_1}）•（{x_2}-m，{y_2}）={x_1}{x_2}-m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）$
=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}-（m+{k^2}）（{x_1}+{x_2}）+{k^2}+{m^2}$
=$（{k^2}+1）\frac{{2{k^2}-8}}{{2{k^2}+1}}-（m+{k^2}）\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}+{k^2}+{m^2}$=$-\frac{{（{5+4m}）{k^2}+8}}{{2{k^2}+1}}+{m^2}$，…（10分）
当5+4m=16，即$m=\frac{11}{4}$时，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$-\frac{7}{16}$为定值，
所以，存在点$M（\frac{11}{4}，0）$使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$为定值． …（14分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，存在性问题的处理方法，考查计算能力．