Question

已知函数f(x)=

(3a-1)x+4a log 1 2 x

x＜1 x≥1

是R上的减函数，则实数a的取值范围是

[

1

7

，

1

3

)

．

Answer 1

分析：由函数f(x)=

(3a-1)x+4a log 1 2 x

x＜1 x≥1

在R上单调递减可得g（x）=（3a-1）x+4a在（-∞，1）单调递减，且h（x）=log 

1

2

x在[1，+∞）单调递减且g（1）≥h（1），代入可求a的范围．

解答：解：∵函数ff(x)=

(3a-1)x+4a log 1 2 x

x＜1 x≥1

在R上单调递减
∴g（x）=（3a-1）x+4a在（-∞，1）单调递减，且h（x）=log 

1

2

x在[1，+∞）单调递减，
且g（1）≥h（1）
∴

3a-1＜0 7a-1≥0

，
解得a∈[

1

7

，

1

3

)．
故答案为：[

1

7

，

1

3

)．

点评：本题主要考查了分段函数的单调性的应用，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都递减，但要注意分界点处函数值的处理是解题中容易漏洞的考虑．