题目内容
已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2,且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是
(
,
)
1 |
3 |
2 |
5 |
(
,
)
.1 |
3 |
2 |
5 |
分析:设椭圆的长半轴为a1,双曲线的半实轴长为a2,它们公共的焦距为2c,|PF2|=n,根据椭圆与双曲线的定义建立方程组解出a1=5+c且a2=5-c,得到双曲线的离心率为
∈(1,2),由此解出c的范围再代入椭圆离心率的表达式,利用不等式的性质加以计算,可得该椭圆的离心率的取值范围.
c |
5-c |
解答:解:如图,设椭圆的长半轴为a1,双曲线的半实轴长为a2,
它们公共的焦距为2c,|PF2|=n,
∵|PF1|=10,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.
∴由椭圆与双曲线的定义,得
,解之得
,
∵双曲线的离心率的取值范围为(1,2),∴1<
<2,
设
=x,可得c=
,
从而得到椭圆的离心率e=
=
=
-
.
由1<x<2,可得
-
<
-
<
-
,即
<
-
<
.
即该椭圆的离心率的取值范围是(
,
).
故答案为:(
,
)
它们公共的焦距为2c,|PF2|=n,
∵|PF1|=10,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.
∴由椭圆与双曲线的定义,得
|
|
∵双曲线的离心率的取值范围为(1,2),∴1<
c |
5-c |
设
c |
5-c |
5x |
1+x |
从而得到椭圆的离心率e=
c |
5+c |
x |
2x+1 |
1 |
2 |
1 |
4x+2 |
由1<x<2,可得
1 |
2 |
1 |
6 |
1 |
2 |
1 |
4x+2 |
1 |
2 |
1 |
10 |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
4x+2 |
2 |
5 |
即该椭圆的离心率的取值范围是(
1 |
3 |
2 |
5 |
故答案为:(
1 |
3 |
2 |
5 |
点评:本题给出有公共焦点的椭圆与双曲线,在双曲线离心率的取值范围为(1,2)时求椭圆的离心率的取值范围.着重考查了椭圆、双曲线的定义与标准方程,利用不等式的基本性质求变量取值范围等知识,属于中档题.
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