Question

（2012•梅州一模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁，F₂且它们在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A．（0，

  1

  3

  ）
• B．（

  1

  3

  ，

  1

  2

  ）
• C．（

  1

  3

  ，

  2

  5

  ）
• D．（

  2

  5

  ，1）

Answer 1

分析：可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其离心率e₁，双曲线的方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0），离心率为e₂，由e₁=

c

a

，e₂=

c

m

∈（1，2），由△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，结合椭圆与双曲线的定义可求得a=m+2c，从而可求得答案．

解答：解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其离心率为e₁，双曲线的方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0），|F₁F₂|=2c，
∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，
∴在椭圆中，|PF₁|+|PF₂|=2a，而|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=2a-2c；①
同理，在该双曲线中，|PF₁|=2m+2c；②
由①②可得a=m+2c．
∵e₂=

c

m

∈（1，2），
∴

1

2

＜

1

e2

=

m

c

＜1，
又e₁=

c

a

=

c

m+2c

，
∴

1

e1

=

m+2c

c

=

m

c

+2∈（

5

2

，3），
∴

1

3

＜e₁＜

2

5

．
故选C．

点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查等价转换的思想与运算能力，考查倒数关系的灵活应用，属于难题．