Question

（本题14分）
已知函数，实数a，b为常数），
（1）若a＝1，在（0，＋∞）上是单调增函数，求b的取值范围；
（2）若a≥2，b＝1，求方程在（0，1]上解的个数。

Answer 1

（1）b≥2
（2）解的个数为0个

（1）
①当
由条件，得≥0恒成立，即b≥x恒成立。
∴b≥2
②当
由条件，得≥0恒成立，即b≥－x恒成立
∴b≥－2
∵f (x)的图象在（0，＋∞）不间断，
综合①，②得b的取值范围是b≥2。
（2）令
当，
∵
即上是单调增函数。
当时，，
∴上是单调增函数。
∵的图象在上不间断，∴在上是单调增函数。
∵

①当a≥3时，∵g (1) ≥0，∴＝0在（0，1]上有惟一解。
即方程解的个数为1个。
②当2≤a＜3时，∵g (1) ＜0，∴＝0在（0，1]上无解。
即方程解的个数为0个。