题目内容

(2005•重庆一模)设f(x)=
x
a(x+2)
,x=f(x)有唯一解,f(x1)=
1
1003
,f(xn)=xn+1(n∈N*).
(Ⅰ)求x2004的值;
(Ⅱ)若an=
4
xn
-4009
,且bn=
a
2
n+1
+
a
2
n
2an+1an
(n∈N*)
,求证:b1+b2+…+bn-n<1;
(Ⅲ)是否存在最小整数m,使得对于任意n∈N*有xn
m
2005
成立,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
分析:(I)由x=
x
a(x+2)
,可以化为ax(x+2)=x,令△=(2a-1)2=0求出a的值,代入f(x)得到
1
xn+1
=
1
2
+
1
xn
,利用对称数列的通项公式求出
1
xn
,进一步求出x2004的值;
(II)由已知求出bn根据其特点将其写成1+
1
2n-1
-
1
2n+1
,利用裂项求和的方法求出b1+b2+…+bn-n得证.
(III)将xn=
2
n+2004
代入xn
m
2005
得到
2
n+2004
m
2005
(n∈N*)
恒成立,求出(
2
n+2004
)max=
2
2005

进一步求出m的值.
解答:解(Ⅰ)由x=
x
a(x+2)
,可以化为ax(x+2)=x,
∴ax2+(2a-1)x=0,
由△=(2a-1)2=0得
当且仅当a=
1
2
时,x=f(x)有惟一解x=0,
从而f(x)=
2x
x+2
…(1分)
又由已知f(xn)=xn+1得:
2xn
xn+2
=xn+1

1
xn+1
=
1
2
+
1
xn

1
xn+1
-
1
xn
=
1
2
(n∈N*)

∴数列{
1
xn
}
是首项为
1
x1
,公差为
1
2
的等差数列…(3分)
1
xn
=
1
x1
+
n-1
2
=
2+(n-1)x1
2x1

xn=
2x1
(n-1)x1+2

又∵f(x1)=
1
1003

2x1
x1+2
=
1
1003
,即x1=
2
2005
…(4分)
xn=
2
2005
(n-1)•
2
2005
+2
=
2
n+2004
…(5分)
x2004=
2
2004+2004
=
1
2004
…(6分)
(Ⅱ)证明:∵xn=
2
n+2004

an=
n+2004
2
×4-4009=2n-1
…(7分)
bn=
a
2
n
+
a
2
n-1
2anan+1
=
(2n-1)2+(2n+1)2
2(2n-1)(2n+1)
=
4n2+1
4n2-1

=1+
2
(2n-1)(2n+1)
=1+
1
2n-1
-
1
2n+1
…(8分)
b1+b2+…+bn-n=(1+1-
1
3
)+(1+
1
3
-
1
5
)+…+(1+
1
2n-1
-
1
2n+1
)-n

=1-
1
2n+1
<1
…(10分)
(Ⅲ)由于xn=
2
n+2004
,若
2
n+2004
m
2005
(n∈N*)
恒成立,
(
2
n+2004
)max=
2
2005

m
2005
2
2005

∴m>2,而m为最小正整数,
∴m=3…(12分)
点评:求数列的前n项和的方法,应该先求出数列的通项,根据数列通项的特点选择合适的求和方法,属于难题.
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