题目内容

（1）设 $数学公式$ ，是两个非零向量，如果 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，求向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角大小；
（2）用向量方法证明：设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．

解：（1）因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，（2分）
两式相减得 $\text{[math]}$ ，于是 $\text{[math]}$ ，
将 $\text{[math]}$ 代回任一式得 $\text{[math]}$ ，（6分）
设与的夹角为θ，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以与的夹角大小为120°．（8分）
（2）因AD⊥BC，所以 $\text{[math]}$ ，
因BD⊥AC，所以 $\text{[math]}$ ，（12分）
于是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（14分）
即 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即AB⊥CD．（16分）
分析：（1））由已知可得， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，整理可得 $\text{[math]}$ ，
将 $\text{[math]}$ 代回原式可得 $\text{[math]}$ ，根据向量的夹角公式可求
（2）由AD⊥BC，可得 $\text{[math]}$ ，同理可得 $\text{[math]}$
要证AB⊥CD即证即 $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了平面向量的数量积的性质：若 $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ 的应用，要证明线段垂直只要证明对应的向量的数量积为0即可，而若知道向量垂直，则可得向量的数量积为0