Question

用分析法证明：若a＞0，则

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2．

Answer 1

分析：根据a＞0，寻找使不等式

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然
具备为止．

解答：证明：∵a＞0，要证

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2，只要证

a2+ 1 a2

+2 ≥ a+

1

a

+

2

，
只要证 a2+

1

a2

+4

a2+ 1 a2

+4≥a2+

1

a2

+2

2

（a+

1

a

）+4，
即证 2

a2+ 1 a2

≥

2

（a+

1

a

）．
只要证4（ a2+

1

a2

）≥2（a2+

1

a2

+2），即证a2+

1

a2

≥2．
由基本不等式可得 a2+

1

a2

≥2 成立，故原不等式成立．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的
充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．