Question

（1）用综合法证明：a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R₊）；
（2）用分析法证明：若a，b，m∈R₊，且b＜a，则

b

a

＜

b+m

a+m

．

Answer 1

分析：（1）由于已知 a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，相加后两边同时除以2，即得所证．
（2）寻找使

b

a

＜

b+m

a+m

成立的充分条件，直到使不等式成立的条件显然具备为止．

解答：（1）证明：∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
相加可得 2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c时，取等号）．
（2）证明：∵a，b，m∈R₊，且b＜a，要证

b

a

＜

b+m

a+m

，只要证 b（a+m）＜a（b+m），
只要证bm＜am，即证 b＜a．
而b＜a为已知条件，故要证的不等式成立．

点评：本题主要考查用综合法和分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．