Question

已知f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的导函数f'（x）满足：当|x|≤1时，有|f'（x）|≤

3

2

恒成立，求函数f（x）的解析表达式；
（Ⅲ）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且a+b=2

3

，证明：

OA

与

OB

不可能垂直．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：f'（x）=3x²-4x+1，令f'（x）≥0即可得到函数的单调递增区间．
（Ⅱ）由题可得：故有-

3

2

≤f'（1）≤

3

2

，-

3

2

≤f'（-1）≤

3

2

，及-

3

2

≤f'（0）≤

3

2

，结合不等式的有关性质可得：ab=-

3

2

，进而得到a+b=0，即可得到函数的解析式．
（Ⅲ）假设

OA

⊥

OB

，即

OA

•

OB

=st+f（s）f（t）=0，即有-1[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1，结合题中条件s+t=

2

3

（a+b），st=

1

3

，可得ab（a-b）²=9，再利用基本不等式推出矛盾，进而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）=x³-2x²+x，、
所以f'（x）=3x²-4x+1，
令f'（x）≥0得3x²-4x+1≥0，解得x≤

1

3

或x≥1
故f（x）的增区间(-∞，

1

3

]和[1，+∞）（4分）
（Ⅱ）由题意可得：f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
并且当x∈[-1，1]时，恒有|f'（x）|≤

3

2

．（5分）
故有-

3

2

≤f'（1）≤

3

2

，-

3

2

≤f'（-1）≤

3

2

，及-

3

2

≤f'（0）≤

3

2

，（6分）
即

- 3 2 ≤3-2(a+b)+ab≤ 3 2 …① - 3 2 ≤3+2(a+b)+ab≤ 3 2 …② - 3 2 ≤ab≤ 3 2 …③

…（8分）
①+②，得-

9

2

≤ab≤-

3

2

，…（8分）   
又由③，得ab=-

3

2

，将上式代回①和②，得a+b=0，
故f(x)=x3-

3

2

x．（10分）
（Ⅲ）假设

OA

⊥

OB

，即

OA

•

OB

=（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0（11分）
所以有：（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1，…（11分）
由s，t为f'（x）=0的两根可得，s+t=

2

3

（a+b），st=

1

3

，（0＜a＜b）
从而有ab（a-b）²=9．…（12分）
这样(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12
即 a+b≥2

3

，这与a+b＜2

3

矛盾．…（14分）
故

OA

与

OB

不可能垂直．…（16分）

点评：本题考查导数的应用，以及不等式的有关解法与性质，并且此题也考查了向量的数量积与根与系数的关系、基本不等式等知识点，是一道综合性较强的题型，属于难题．对学生分析问题，解决问题的能力要求较高．