Question

已知f（x）=lg（ax-bx），（a、b为常数）
（1）当a＞b＞0时，求f（x）的定义域；
（2）当a＞1＞b＞0时，判断f（x）在定义域内的单调性；
（3）当a＞1＞b＞0时，f（x）在（1，+∞）上恒为正，求a、b满足的条件．

Answer 1

分析：（1）定义域即ax-bx＞0，由此能求出其定义域．
（2）取x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）=lg[x₁（a-b）]-lg[x₂（a-b）]=lg

x1(a-b)

x2(a-b)

=lg

x1

x2

＞lg1=0，故函数f（x）在定义域上单调递增．
（3）由题设条件知f（x）＞f（1）=log（a-b）＞0，即a-b＞1．

解答：解：（1）定义域即ax-bx＞0
x（a-b）＞0∵a＞b，∴a-b＞0
只需x＞0即可，∴定义域为：x＞0
（2）取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）=lg[x₁（a-b）]
f（x₂）=lg[x₂（a-b）]
f（x₁）-f（x₂）=lg[x₁（a-b）]-lg[x₂（a-b）]
=lg

x1(a-b)

x2(a-b)

，
∵a＞1＞b＞0，∴a-b≠0，约去得：
f（x₁）-f（x₂）=lg

x1

x2

∵x₁＞x₂＞0，∴

x1

x2

＞1，
即f（x₁）-f（x₂）=lg

x1

x2

＞lg1=0
∴f（x₁）＞f（x₂）
即函数f（x）在定义域上单调递增
（3）f（x）=log[ax-bx]在（1，+∞）上＞0恒成立，
且f（x）单调递增
∴有f（x）＞f（1）=log（a-b）＞0，
即a-b＞1．

点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要认真审题，合理求解，注意公式的灵活运用．