题目内容

已知f(x)=|lg(x-2)|,当a<b时,f(a)=f(b),则a+b的取值范围为
(6,+∞)
(6,+∞)
分析:先由函数图象的翻折变换画出函数f(x)=|lg(x-2)|的图象,由图可知,当a<b时,f(a)=f(b)时,2<a<3,b>3,由此将a、b代入解析式去掉绝对值符号,即可得a、b间的等式,最后由均值定理计算a+b的取值范围
解答:解:∵f(x)=|lg(x-2)|,其图象如图
∵f(a)=f(b),
∴a,b为方程f(x)=m (m>0)的两个根,又∵a<b,由图可知2<a<3,b>3
∴|lg(a-2)|=|lg(b-2)|,
即-lg(a-2)=lg(b-2)
即(a-2)(b-2)=1
∵1=(a-2)(b-2)≤(
(a-2)+(b-2)
2
)
2
=
(a+b-4)2
4

∴a+b-4≥2或a+b-4≤-2(舍去)
∴a+b≥6
故答案为 (6,+∞)
点评:本题考查了对数函数的图象和性质,函数图象的翻折变换,利用均值定理求最值的方法,数形结合的思想方法
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