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定义在R上的单调函数f(x)满足对任意x，y均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=1。
（1）求f(0)的值，并判断f(x)的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：f(x-x2+2)+f(2x)+2＜0。
解：（1）令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，
∴f(0)=0，
令y=-x，则有f(0)=f(x)+f(-x)，
∵f(0)=0，
∴对任意x∈R，有f(-x)=-f(x)成立，
∴函数f(x)为奇函数。
（2）由函数f(x)为R上的单调函数，且，可知函数f(x)在上单调递增，
∴原不等式等价于，
，
又函数f(x)为奇函数，
∴，
∴，
∴，即，
∴原不等式的解集为或。
练习册系列答案
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15、已知定义在R上的单调函数f（x）满足：存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立，则（i）f（1）+f（0）=
0
（ii）x0的值为
1
．
已知函数f（x）是定义在R上的单调函数满足f（-3）=2，，且对任意的实数a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．
（Ⅰ）试判断f（x）在R上的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）解关于x的不等式f(
2-xx
)＜2．
定义在R上的单调函数f（x）满足f(2)=
32
，且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求证：f（x）为奇函数；
（Ⅱ）若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
（2）数列{an}满足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)，
①求通项公式an的表达式；
②令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，试比较Sn与
4
3
Tn的大小，并加以证明；
③当a＞1时，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(log a+1x-log ax+1)对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．
（2013•广州三模）已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0使得对任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且对任意的正整数n．有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比较
4
3
Sn与Tn的大小关系，并给出证明．

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