Question

如果甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，而且他们的水平相当，规定“7局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局．
求：（Ⅰ）乙取胜的概率；
（Ⅱ）比赛打满七局的概率；
（Ⅲ）设比赛局数为ξ，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

解：（Ⅰ）当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：
第一种是乙连胜四局；第二种是在第3局到第6局，乙赢了3局，第7局乙赢．
在第一种情况下，乙取胜的概率为
在第二种情况下，乙取胜的概率为
所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为．

（Ⅱ）比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A；
记“比赛打满七局乙胜”为事件B．则

又A，B互斥，所以比赛打满七局的概率为
（或第3～6局中甲甲胜1局乙胜3局，．

（Ⅲ）



所以ξ的分布列为：

Eξ=（4+5+6+67）×=5.5．
分析：（1）若已知甲先赢了前两局，列举乙胜的可能情况，第一种是乙连胜四局；第二种是在第3局到第6局，乙赢了3局，第7局乙赢．列出两种情况求和．
（2）比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，实际上甲胜和乙胜的概率是一样的，设出事件列出算式得结果．
（3）比赛最少要打四局，最多是七局，所以离散型随机变量的取值是4、5、6、7，写出分布列，得到期望．
点评：本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．