Question

已知椭圆的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．
（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；
（2）求证：线段EF被直线AC平分．

Answer 1

解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）
∵y²=4x的焦点为F（1，0）
∴c=1，又2b=2，
∴b=1，a²=b²+c²=2，
所以，椭圆的标准方程为
其离心率为e=
（2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，
∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则M（，0）
若AB垂直于x轴，则A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁）
∴AC的中点为N（，0）
∴线段EF的中点与AC的中点重合，
∴线段EF被直线AC平分，
若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为
y=k（x-1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则C（2，-y₂）
把y=k（x-1）代入
得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0
则有x₁+x₂=，x₁x₂=
∴k_AM=
=，k_CM=，
∵k_AM-k_CM=
=
∴k_AM=k_CM
∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，
∴线段EF被直线AC平分．
分析：（1）先设出椭圆的标准方程，根据抛物线的方程求得其焦点坐标，进而求得椭圆的c，短半轴b求得a，则椭圆的方程和离心率可得．
（2）根据（1）中的椭圆方程求得其准线l的方程，求得点E的坐标，设EF的中点为M，则M的坐标可得，先看当AB垂直于x轴，则设出点A，B，C的坐标，求得AC中点的坐标，判断出线段EF的中点与AC的中点重合；再看AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，可表示出AM和CM的斜率，求得二者相等，进而推断出A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，最后综合证明题设．
点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合运用．考查了学生综合分析问题和分类讨论思想的运用．属中档题．