Question

(理)设a∈R,函数f(x)=e^-x(x²+ax+1),其中e是自然对数的底数.

(1)讨论函数f(x)在R上的单调性;

(2)当-1＜a＜0时,求f(x)在［-2,1］上的最小值.

(文)已知f(x)=x³+mx²-2m²x-4(m为常数,且m＞0)有极大值.

(1)求m的值;

(2)求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程.

Answer 1

解：(理)f′(x)=-e^-x(x²+ax+1)+e^-x(2x+a)=e^-x(-x²-ax-1+2x+a)=e^-x［-x²-(a-2)x+a-1］.

∵e^-x＞0,

以下讨论g(x)=-x²-(a-2)x+a-1=-(x-1)［x+(a-1)］的取值情况:

(1)①当a=0时,g(x)=-(x-1)²≤0,∴f(x)在R上是减函数;

②当a＞0时,g(x)=0有两个根1和1-a,其中1-a＜1,函数f(x)在(-∞,1-a)和(1,+∞)上是减函数,在(1-a,1)上是增函数;

③当a＜0时,g(x)=0有两个根1和1-a,其中1-a＞1,函数f(x)在(-∞,1)和(1-a,+∞)上是减函数,在(1,1-a)上是增函数.

(2)当-1＜a＜0时,f(x)在［-2,1］上是减函数,

故f(x)_min=f(1)=.

(文)(1)f′(x)=3x²+mx-2m²=(x+m)(3x-2m)=0,

则x=-m,x=m.

由列表得

x	(-∞,-m)	-m	(-m,m)	m	(m,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	?	极大	?	极小	?

f(-m)=-m³+m³+2m³-4=-,∴m=1.

(2)由(1)知f(x)=x³+x²-2x-4,则f′(x)=3x²+x-2=2,∴x=1或x=-.

由f(1)=,f(-)=.∴切线方程为y+=2(x-1),即4x-2y-13=0;

y+=2(x+),即54x-27y-4=0.