Question

10、有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个空盒，有多少种放法？
（3）恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？

Answer 1

分析：（1）本题要求把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．余下的2、3、4号小球也各有4种放法，根据分步计数原理得到结果．
（2）恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2．先从4个小球中任选2个放在一起，与其他两个球看成三个元素，在三个位置排列．
（3）恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球；
2个盒子内各放2个小球．写出组合数，根据分类加法得到结果．

解答：解：（1）本题要求把小球全部放入盒子，
∵1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．
同理，2、3、4号小球也各有4种放法，
∴共有4⁴=256种放法．
（2）∵恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，
且小球数只能是1、1、2．
先从4个小球中任选2个放在一起，有C²₄种方法，
然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A³₄种放法．
∴由分步计数原理知共有C²₄A³₄=144种不同的放法．
（3）恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：
①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．
先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C¹₄种分法，
再放到2个盒子内，有A²₄种放法，
共有C¹₄A²₄种方法；
②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C²₄种选法，
然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，也有C²₄种选法，
共有C²₄C²₄种方法．
∴由分类计数原理知共有C¹₄A²₄+C²₄C²₄=84种不同的放法．

点评：本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．