题目内容

(2012•眉山二模)已知平面上一定点C(-1,0)和一定直线l:x=-4.P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,(
PQ
+2
PC
)(
PQ
-2
PC
)=0

(1)问点P在什么曲线上,并求出该曲线方程;
(2)点O是坐标原点,A、B两点在点P的轨迹上,若
OA
OB
=(1+λ)
OC
,求λ的取值范围.
分析:(1)直接根据,(
PQ
+2
PC
)(
PQ
-2
PC
)=0
,设出点P的坐标整理即可得到点P在什么曲线上,并求出该曲线方程;
(2)直接设A、B两点的坐标,根据
OA
OB
=(1+λ)
OC
,得到A、B、C三点共线.且λ>0;再把A的坐标用B的坐标表示出来;结合A、B两点在点P的轨迹上以及椭圆上的点的范围限制即可求出λ的取值范围.
解答:解:(1)由(
PQ
+2
PC
)•(
PQ
-2
PC
)=0
,得:
PQ
2
-4
PC
2
=0
,…(2分)
设P(x,y),则(x+4)2-4[(x+1)2+y2]=0,化简得:
x2
4
+
y2
3
=1
,…(4分)
点P在椭圆上,其方程为
x2
4
+
y2
3
=1
.…(6分)
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
OA
OB
=(1+λ)
OC
得:
CA
CB
=
0

所以,A、B、C三点共线.且λ>0,
得:(x1+1,y1)+λ(x2+1,y2)=0,即:
x1=-1-λ-λx2
y1=-λy2
…(8分)
因为
x12
4
+
y12
3
=1
,所以
(-1-λ-λx2)2
4
+
(-λy2)2
3
=1
①…(9分)
又因为
x22
4
+
y22
3
=1
,所以
x2)2
4
+
y2)2
3
=λ2
②…(10分)
由①-②得:
2λ(λ+1)x2+(λ+1)2
4
=1-λ2
,化简得:x2=
3-5λ
,…(12分)
因为-2≤x2≤2,所以-2≤
3-5λ
≤2

解得:
1
3
≤λ≤3
所以λ的取值范围为[
1
3
,3]
.…(14分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线以及平面向量的综合问题.解决第二问的关键在于由
OA
OB
=(1+λ)
OC
,得到A、B、C三点共线.且λ>0.
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