题目内容
(2012•眉山二模)已知平面上一定点C(-1,0)和一定直线l:x=-4.P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,(
+2
)(
-2
)=0.
(1)问点P在什么曲线上,并求出该曲线方程;
(2)点O是坐标原点,A、B两点在点P的轨迹上,若
+λ
=(1+λ)
,求λ的取值范围.
PQ |
PC |
PQ |
PC |
(1)问点P在什么曲线上,并求出该曲线方程;
(2)点O是坐标原点,A、B两点在点P的轨迹上,若
OA |
OB |
OC |
分析:(1)直接根据,(
+2
)(
-2
)=0,设出点P的坐标整理即可得到点P在什么曲线上,并求出该曲线方程;
(2)直接设A、B两点的坐标,根据
+λ
=(1+λ)
,得到A、B、C三点共线.且λ>0;再把A的坐标用B的坐标表示出来;结合A、B两点在点P的轨迹上以及椭圆上的点的范围限制即可求出λ的取值范围.
PQ |
PC |
PQ |
PC |
(2)直接设A、B两点的坐标,根据
OA |
OB |
OC |
解答:解:(1)由(
+2
)•(
-2
)=0,得:
2-4
2=0,…(2分)
设P(x,y),则(x+4)2-4[(x+1)2+y2]=0,化简得:
+
=1,…(4分)
点P在椭圆上,其方程为
+
=1.…(6分)
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由
+λ
=(1+λ)
得:
+λ
=
,
所以,A、B、C三点共线.且λ>0,
得:(x1+1,y1)+λ(x2+1,y2)=0,即:
…(8分)
因为
+
=1,所以
+
=1①…(9分)
又因为
+
=1,所以
+
=λ2②…(10分)
由①-②得:
=1-λ2,化简得:x2=
,…(12分)
因为-2≤x2≤2,所以-2≤
≤2.
解得:
≤λ≤3所以λ的取值范围为[
,3].…(14分)
PQ |
PC |
PQ |
PC |
PQ |
PC |
设P(x,y),则(x+4)2-4[(x+1)2+y2]=0,化简得:
x2 |
4 |
y2 |
3 |
点P在椭圆上,其方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由
OA |
OB |
OC |
CA |
CB |
0 |
所以,A、B、C三点共线.且λ>0,
得:(x1+1,y1)+λ(x2+1,y2)=0,即:
|
因为
x12 |
4 |
y12 |
3 |
(-1-λ-λx2)2 |
4 |
(-λy2)2 |
3 |
又因为
x22 |
4 |
y22 |
3 |
(λx2)2 |
4 |
(λy2)2 |
3 |
由①-②得:
2λ(λ+1)x2+(λ+1)2 |
4 |
3-5λ |
2λ |
因为-2≤x2≤2,所以-2≤
3-5λ |
2λ |
解得:
1 |
3 |
1 |
3 |
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线以及平面向量的综合问题.解决第二问的关键在于由
+λ
=(1+λ)
,得到A、B、C三点共线.且λ>0.
OA |
OB |
OC |
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