题目内容
已知函数f(x)=x+
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
| 1 | x |
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
分析：（1）用函数奇偶性的定义判断、证明，注意具有奇偶性的函数定义域须关于原点对称；
（2）利用增函数的定义证明．
（2）利用增函数的定义证明．
解答：解：（1）函数f(x)=x+
为奇函数
∵函数f(x)=x+
的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且关于原点对称．
且f(-x)=-x+
=-(x+
)=-f(x)．
所以函数f(x)=x+
为奇函数．
（2）证明：设x1，x2是区间（1，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2．
f(x1)-f(x2)=x1+
-(x2+
)=x1-x2+
-
=(x1-x2)(1-
)
=
．
∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．
| 1 |
| x |
∵函数f(x)=x+
| 1 |
| x |
且f(-x)=-x+
| 1 |
| -x |
| 1 |
| x |
所以函数f(x)=x+
| 1 |
| x |
（2）证明：设x1，x2是区间（1，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2．
f(x1)-f(x2)=x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1x2 |
=
| (x1-x2)(x1x2-1) |
| x1x2 |
∵1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，属于基础题，难度不大，准确理解它们的定义是解决该类问题的基础．
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