Question

（本小题满分14分）
在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面⊥平面；
(3)求三棱锥的体积．

Answer 1

(1)见解析 (2) 见解析；
(3) 。

解析试题分析：(1)根据线面平行的判定定理，只须判定OD//PA即可.
（2）根据面面垂直的判定只须证明平面PAB即可.
（3）在（1）（2）的基础上，可利用三棱锥可换底的特性知.
解：(1) 分别为的中点，              ·······2分
又平面，平面 
平面                      ·······4分
(2) 连结 
， , 
又为的中点，
，
同理,                              ·······6分
又,   ,
                             ·······8分
又 ,平面.
由于平面， 平面⊥平面                  ·······10分
(3)由（2）可知⊥平面
为三棱锥的高，且                          ·······11分
故              ·······14分
考点：线面平行，线面垂直，面面垂直的判定及性质，三棱锥的体积.
点评：掌握线线，线面，面面平行与垂直的判定与性质是解决此类的前提，勿必熟记，同是在求三棱锥体积时，要注意可换底的特性.