Question

某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：

月数	1	2	3	4	…
污染度	60	31	13	0	…

污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x-4|（x≥1），，，其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．
（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；
（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？

Answer 1

解：（1）∵f（1）=g（1）=h（1）=60；f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）≈27.3；f（3）=20，g（3）≈6.7，h（3）≈10.9；f（4）=g（4）=h（4）=0；
由此可得h（x）更接近表中的实际值，所以用h（x）模拟比较合理．
（2）因为函数y₁=log₂x在（x≥4）上是增函数，函数y₂=-在（x≥4）上是增函数，
所以，函数在x≥4上也是增函数；
又因为h（23）≈59.6，h（24）≈60.9，
故整治后有23个月的污染度不超过60．
分析：（1）通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）；g（1），g（2），g（3），g（4）和h（1），h（2），h（3），
h（4）的值；可知h（x）更接近表中的实际值，用h（x）模拟较为合理．
（2）由复合函数的单调性知，函数在x≥4上是增函数；且h（23）≈59.6，h（24）≈60.9，知整治后有23个月的污染度不超过60．
点评：本题考查了函数模型的选择与应用问题，选择函数模拟实际问题时，函数值越接近实际值，函数模拟效果越好．