题目内容

已知函数f(x)=
1
3
x3-
(k+1)
2
x2,g(x)=
1
3
-kx且f(x)在区间(2,+∞)上为增函数.
(1)求k的取值范围;
(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
分析:(1)求出f(x)的导函数,因为f(x)在(2,+∞)上为增函数,所以得到导函数在(2,+∞)上恒大于等于0,列出k与x的不等式,由x的范围即可求出k的取值范围;
(2)把f(x)和g(x)的解析式代入h(x)中确定出h(x)的解析式,求出h(x)的导函数,令导函数等于0求出此时x的值,然后根据(1)求出的k的范围,分区间讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间,根据函数的增减性求出函数的极小值和极大值,判断得到极小值大于0,所以要使函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即要极大值也要大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集即可得到实数k的取值范围.
解答:解:(1)由题意f′(x)=x2-(k+1)x,
因为f(x)在区间(2,+∞)上为增函数,
所以f′(x)=x2-(k+1)x≥0在(2,+∞)上恒成立,即k+1≤x恒成立,
又x>2,所以k+1≤2,故k≤1,
当k=1时,f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1在x∈(2,+∞)恒大于0,故f(x)在(2,+∞)上单增,符合题意.
所以k的取值范围为k≤1.
(2)设h(x)=f(x)-g(x)=
x3
3
-
(k+1)
2
x2+kx-
1
3

h′(x)=x2-(k+1)x+k=(x-k)(x-1),
令h′(x)=0得x=k或x=1,由(1)知k≤1,
①当k=1时,h′(x)=(x-1)2≥0,h(x)在R上递增,显然不合题意;
②当k<1时,h(x),h′(x)随x的变化情况如下表:精英家教网
由于
k-1
2
>0,欲使f(x)与g(x)图象有三个不同的交点,
即方程f(x)=g(x),也即h(x)=0有三个不同的实根.
故需-
k3
6
+
k2
2
-
1
3
>0
即(k-1)(k2-2k-2)<0,
所以
k<1
k2-2k-2>0
,解得k<1-
3

综上,所求k的范围为k<1-
3
点评:此题考查利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,考查了分类讨论的数学思想,是一道综合题.
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