题目内容

已知一系列的抛物线C_n的方程为y=a_nx²（n∈N^*，a_n＞1），过点A_n（n，a_nn²）作该抛物线C_n的切线l_n与y轴交于点 B_n，F_n是 C_n的焦点，△A_nB_nF_n的面积为n³
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：1+ $数学公式$ ≤a_n＜2；
（3）设b_n=2a_n-a_n²，求证：当n≥1时， $数学公式$ ．

解：（1）A_n（n，a_nn²）在抛物线C_n上，
∵y=a_nx²，
∴y^′=2a_nx，
则切线l_n的斜率为2a_nn，
切线方程为 y-a_nn²=2 a_nn（x-n）…（2分）
令x=0，得y=-a_nn²，，
∴B_n（0，-a_nn²），
又F_n（0， $\text{[math]}$ ）
∴S $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +a_nn²）n=n³
∴ $\text{[math]}$ +a_nn²=2n²，即4n²a_n²-8n²a_n+1=0，…（3分）
∴△=64n⁴-16n²=16n²（4n²-1）＞0，
∵a_n＞1，
∴a_n=1+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …（4分）
（2）证明：∵a_n=1+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，
{a_n}为递增数列，
∴a_n≥1+ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ．…（6分）
又a_n＜1+ $\text{[math]}$ =2，
∴1+ $\text{[math]}$ ≤a_n＜2．…（8分）
（3）．证明： $\text{[math]}$ …（9分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵k≥2时， $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …（12分）
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）A_n（n，a_nn²）在抛物线C_n上，y^′=2a_nx，则切线l_n的斜率为2a_nn，切线方程为 y-a_nn²=2 a_nn（x-n）．令x=0，得y=-a_nn²，由此能求出a_n．
（2）由a_n=1+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，{a_n}为递增数列，由a_n≥1+ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，由此能证明1+ $\text{[math]}$ ≤a_n＜2．
（3）．由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能够证明 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列和解析几何的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．