题目内容
选修4-5:不等式选讲
(1)求不等式|x-3|-2|x-1|≥-1的解集;
(2)已知a,b∈R+,a+b=1,求证:(a+
)2+(b+
)2≥
.
(1)求不等式|x-3|-2|x-1|≥-1的解集;
(2)已知a,b∈R+,a+b=1,求证:(a+
1 |
a |
1 |
b |
25 |
2 |
分析:(1)分类讨论,去掉绝对值符号即可得出:当x≥3时,原不等式可化为(x-3)-2(x-1)≥-1;
当x≤1时,原不等式可化为-(x-3)+2(x-1)≥-1;
当1<x<3时,原不等式可化为-(x-3)-2(x-1)≥-1;
(2)由于a,b∈R,且a+b=1,利用基本不等式可得ab≤(
)2=
,
进而得到(a+
)2+(b+
)2=4+(a2+b2)+(
+
)=4+[(a+b)2-2ab]+
=4+(1-2ab)+
≥4+(1-2×
)+
=
.
当x≤1时,原不等式可化为-(x-3)+2(x-1)≥-1;
当1<x<3时,原不等式可化为-(x-3)-2(x-1)≥-1;
(2)由于a,b∈R,且a+b=1,利用基本不等式可得ab≤(
a+b |
2 |
1 |
4 |
进而得到(a+
1 |
a |
1 |
b |
1 |
a2 |
1 |
b2 |
(a+b)2-2ab |
a2b2 |
1-2ab |
a2b2 |
1 |
4 |
1-2×
| ||
(
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2 |
解答:(1)解:当x≥3时,原不等式可化为(x-3)-2(x-1)≥-1,化为x≤0,应舍去;
当x≤1时,原不等式可化为-(x-3)+2(x-1)≥-1,化为x≥-2,此时不等式的解集为[-2,1];
当1<x<3时,原不等式可化为-(x-3)-2(x-1)≥-1,化为x≤2,此时不等式的解集为(1,2];
综上可知原不等式的解集为:[-2,2].
(2)证明:∵a,b∈R,且a+b=1,∴ab≤(
)2=
,
∴(a+
)2+(b+
)2=4+(a2+b2)+(
+
)=4+[(a+b)2-2ab]+
=4+(1-2ab)+
≥4+(1-2×
)+
=
,当且仅当a=b=
时不等式取等号.
当x≤1时,原不等式可化为-(x-3)+2(x-1)≥-1,化为x≥-2,此时不等式的解集为[-2,1];
当1<x<3时,原不等式可化为-(x-3)-2(x-1)≥-1,化为x≤2,此时不等式的解集为(1,2];
综上可知原不等式的解集为:[-2,2].
(2)证明:∵a,b∈R,且a+b=1,∴ab≤(
a+b |
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1 |
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∴(a+
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a |
1 |
b |
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a2 |
1 |
b2 |
(a+b)2-2ab |
a2b2 |
1-2ab |
a2b2 |
1 |
4 |
1-2×
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(
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2 |
点评:本题考查了含绝对值符号的不等式的解法、基本不等式的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法,属于难题.

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