题目内容

选修4-5:不等式选讲
(1)求不等式|x-3|-2|x-1|≥-1的解集;
(2)已知a,b∈R+,a+b=1,求证:(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2
25
2
分析:(1)分类讨论,去掉绝对值符号即可得出:当x≥3时,原不等式可化为(x-3)-2(x-1)≥-1;
当x≤1时,原不等式可化为-(x-3)+2(x-1)≥-1;
当1<x<3时,原不等式可化为-(x-3)-2(x-1)≥-1;
(2)由于a,b∈R,且a+b=1,利用基本不等式可得ab≤(
a+b
2
)2=
1
4

进而得到(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2=4+(a2+b2)+(
1
a2
+
1
b2
)=4+[(a+b)2-2ab]+
(a+b)2-2ab
a2b2
=4+(1-2ab)+
1-2ab
a2b2
≥4+(1-2×
1
4
)+
1-2×
1
4
(
1
4
)
2
=
25
2
解答:(1)解:当x≥3时,原不等式可化为(x-3)-2(x-1)≥-1,化为x≤0,应舍去;
当x≤1时,原不等式可化为-(x-3)+2(x-1)≥-1,化为x≥-2,此时不等式的解集为[-2,1];
当1<x<3时,原不等式可化为-(x-3)-2(x-1)≥-1,化为x≤2,此时不等式的解集为(1,2];
综上可知原不等式的解集为:[-2,2].
(2)证明:∵a,b∈R,且a+b=1,∴ab≤(
a+b
2
)2=
1
4

(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2=4+(a2+b2)+(
1
a2
+
1
b2
)=4+[(a+b)2-2ab]+
(a+b)2-2ab
a2b2
=4+(1-2ab)+
1-2ab
a2b2
≥4+(1-2×
1
4
)+
1-2×
1
4
(
1
4
)
2
=
25
2
,当且仅当a=b=
1
2
时不等式取等号.
点评:本题考查了含绝对值符号的不等式的解法、基本不等式的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法,属于难题.
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