题目内容
选修4-5：不等式选讲
（1）求不等式|x-3|-2|x-1|≥-1的解集；
（2）已知a，b∈R+，a+b=1，求证：(a+
)2+(b+
)2≥
．
（1）求不等式|x-3|-2|x-1|≥-1的解集；
（2）已知a，b∈R+，a+b=1，求证：(a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 25 |
| 2 |
分析：（1）分类讨论，去掉绝对值符号即可得出：当x≥3时，原不等式可化为（x-3）-2（x-1）≥-1；
当x≤1时，原不等式可化为-（x-3）+2（x-1）≥-1；
当1＜x＜3时，原不等式可化为-（x-3）-2（x-1）≥-1；
（2）由于a，b∈R，且a+b=1，利用基本不等式可得ab≤(
)2=
，
进而得到(a+
)2+(b+
)2=4+(a2+b2)+(
+
)=4+[(a+b)2-2ab]+
=4+(1-2ab)+
≥4+(1-2×
)+
=
．
当x≤1时，原不等式可化为-（x-3）+2（x-1）≥-1；
当1＜x＜3时，原不等式可化为-（x-3）-2（x-1）≥-1；
（2）由于a，b∈R，且a+b=1，利用基本不等式可得ab≤(
| a+b |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
进而得到(a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| (a+b)2-2ab |
| a2b2 |
| 1-2ab |
| a2b2 |
| 1 |
| 4 |
1-2×
| ||
(
|
| 25 |
| 2 |
解答：（1）解：当x≥3时，原不等式可化为（x-3）-2（x-1）≥-1，化为x≤0，应舍去；
当x≤1时，原不等式可化为-（x-3）+2（x-1）≥-1，化为x≥-2，此时不等式的解集为[-2，1]；
当1＜x＜3时，原不等式可化为-（x-3）-2（x-1）≥-1，化为x≤2，此时不等式的解集为（1，2]；
综上可知原不等式的解集为：[-2，2]．
（2）证明：∵a，b∈R，且a+b=1，∴ab≤(
)2=
，
∴(a+
)2+(b+
)2=4+(a2+b2)+(
+
)=4+[(a+b)2-2ab]+
=4+(1-2ab)+
≥4+(1-2×
)+
=
，当且仅当a=b=
时不等式取等号．
当x≤1时，原不等式可化为-（x-3）+2（x-1）≥-1，化为x≥-2，此时不等式的解集为[-2，1]；
当1＜x＜3时，原不等式可化为-（x-3）-2（x-1）≥-1，化为x≤2，此时不等式的解集为（1，2]；
综上可知原不等式的解集为：[-2，2]．
（2）证明：∵a，b∈R，且a+b=1，∴ab≤(
| a+b |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴(a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| (a+b)2-2ab |
| a2b2 |
| 1-2ab |
| a2b2 |
| 1 |
| 4 |
1-2×
| ||
(
|
| 25 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了含绝对值符号的不等式的解法、基本不等式的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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