题目内容

设f（x）=xlog_ax+（1-x）log_a（1-x）（a＞1）
（1）判断f（x）的单调性；
（2）已知m+n=4，且m＞0，n＞0，求mlog₄m+nlog₄n的最小值．

解：（1）由f′（x）=log_ax+ $\text{[math]}$ -log_a（1-x）- $\text{[math]}$ =log_ax-log_a（1-x）=log_a $\text{[math]}$
令f′（x）=0得x= $\text{[math]}$
∵a＞1，∴当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，f′（x）＜0；同理，当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0
∴f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上递减，在（ $\text{[math]}$ ，1）上递增…（6分）
（2）由（1）知，f（x）在x= $\text{[math]}$ 处取最小值，f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）=log_a $\text{[math]}$
令m=4m₁，n=4n₁，则m₁+n₁=1，所以mlog₄m+nlog₄n=4[1+m₁log₄m₁+（1-m₁）log₄（1-m₁）]≥4（1+log₄ $\text{[math]}$ ）=2
∴mlog₄m+nlog₄n的最小值为2．…（12分）
分析：（1）求导函数，令f′（x）=log_a $\text{[math]}$ =0得x= $\text{[math]}$ ，利用导数的正负，即可确定函数的单调性；
（2）由（1）知，f（x）在x= $\text{[math]}$ 处取最小值，f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）=log_a $\text{[math]}$ ，令m=4m₁，n=4n₁，则m₁+n₁=1，所以mlog₄m+nlog₄n=4[1+m₁log₄m₁+（1-m₁）log₄（1-m₁）]，由此可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查最值的求解，解题的关键是求导确定函数的最值．