Question

设f（x）=xlog_ax+（1-x）log_a（1-x）（a＞1）
（1）判断f（x）的单调性；
（2）已知m+n=4，且m＞0，n＞0，求mlog₄m+nlog₄n的最小值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，令f′（x）=log_a

x

1-x

=0得x=

1

2

，利用导数的正负，即可确定函数的单调性；
（2）由（1）知，f（x）在x=

1

2

处取最小值，f（x）_min=f（

1

2

）=log_a

1

2

，令m=4m₁，n=4n₁，则m₁+n₁=1，所以mlog₄m+nlog₄n=4[1+m₁log₄m₁+（1-m₁）log₄（1-m₁）]，由此可得结论．

解答：解：（1）由f′（x）=log_ax+

1

lna

-log_a（1-x）-

1

lna

=log_ax-log_a（1-x）=log_a

x

1-x

令f′（x）=0得x=

1

2

∵a＞1，∴当0＜x＜

1

2

时，0＜

x

1-x

＜1，f′（x）＜0；同理，当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＞0
∴f（x）在（0，

1

2

）上递减，在（

1

2

，1）上递增…（6分）
（2）由（1）知，f（x）在x=

1

2

处取最小值，f（x）_min=f（

1

2

）=log_a

1

2

令m=4m₁，n=4n₁，则m₁+n₁=1，所以mlog₄m+nlog₄n=4[1+m₁log₄m₁+（1-m₁）log₄（1-m₁）]≥4（1+log₄

1

2

）=2
∴mlog₄m+nlog₄n的最小值为2．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查最值的求解，解题的关键是求导确定函数的最值．