Question

1．设函数f（x）=|x-a|
（1）若f（x）≥5-|x-1|的解集为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，且$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义直接求出表达式的最值，通过绝对值不等式求解即可．
（2）求出a=1，推出$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1$，通过$m+2n=（m+2n）（\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}）$，利用基本不等式求出最值即可．

解答 解：（1）由已知可得|x-a|+|x-1|≥5的解集为R，
因为|x-a|+|x-1|≥|（x-a）-（x-1）|=|a-1|，
所以|a-1|≥5，解得a≥6或a≤-4.5分
（2）证明：依题f（x）≤1可知|x-a|≤1⇒a-1≤x≤a+1，所以a=1，
即$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1$，
∴$m+2n=（m+2n）（\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}）=2+\frac{2n}{m}+\frac{m}{2n}≥4$，
当且仅当$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1$，$\frac{2n}{m}=\frac{m}{2n}$，
即m=2，n=1时取等号．10分

点评 本题考查基本不等式和绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力．