Question

16．设命题p：$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是三个非零向量；命题q：{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}为空间的一个基底，则命题p是命题q的充分不必要条件．

Answer 1

分析 根据空间的一组基底满足的条件：不共面及零向量与任意向量关系的性质，判断出前者成立推不出后者成立；后者成立推出前者成立，利用充要条件的有关定义得到结论．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是三个非零向量成立，当$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$三个向量共面时，则{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}不为空间的一组基底，
即命题p推不出命题q；
但反之{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}为空间的一组基底，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不共面，
所以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是三个非零向量，
即命题q推出命题p；
所以命题q是命题p的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．

点评 解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先确定哪一个是条件，再两边试着双推一下，利用充要条件的有关定义下结论．